質數——數學的原子
阿恆
這是我在 GIMPS 香港羣組的網站上介紹質數的文章之一,這一篇解釋質數在數學上的重要性,前一篇文章是《甚麼是質數?》,下一篇文章是《質數有多少個?》
不妨這樣想,乘法把兩個數字連結一起,例如 2 x 3 = 6,6 就像一個份子,由兩個較小的成份 2 和 3 組成。反過來說,我們選一個整數,例如 6,我們可以把它分解,成為一些較小整數的乘積,對於這個例子我們很快得到 6 = 2 x 3,並且發現 2 和 3 不能進一步分解,它們就像化學中的原子那樣,是 6 這個數字最基本的成份。
這些不能進一步分解的數字我們稱為質數,2 和 3 是最小的兩個質數。從乘法的角度看,所有數字都是由質數組成的。數學中其中一條最基本的定律是:
任何大過 1 的整數都可以分解成一組質數的乘積,而這組質數的組合是唯一的。
例如 12 可以被分解成 2 x 2 x 3,300 可以被分解成 22 x 3 x 52。
化學中的原子只有百多個,數學中的原子——質數有多少個呢?想知道的話請看下一篇《質數有多少個?》。
隨着科學的進步,物理學家已經發現比原子更基本的粒子夸克 (quark),數學的「原子」質數竟然也有相似的情況,18 世紀的法國數學家高斯發現,質數可以寫成兩個「複數」的乘積,例如:
5 = (1 - 2i) (1 + 2i)
這裏的 i 是虛數,即 (-1)1/2。